Tohtorikoulutettava Topi Törmää kiehtoo se, kuinka lukuteoria tuo rakennetta lukuihin.

Viikon 43 tutkijatapaaminen: Parempi kuin sata desimaalia

Arjessa hintalapun 2,99 pyöristyy kolmeksi euroksi ja lukiomatematiikassakin piin loputtomasti jatkuvista desimaaleista näpytellään laskimeen vain 3,14. Matematiikassa luvut pyritään esittämään tarkasti, mutta mitä tekee lukuteoreetikko päättymättömästi jatkuvien lukujen kuten piin kanssa, kun satakaan numeroa pilkun jälkeen lisäämällä ei silti olla edes lähellä tarkkaa arvoa? Ottaa avuksi ketjumurtoluvut ja approksimaatiot.

Tiede  | 

Teksti Essi Oikarinen

Kuvat Essi Oikarinen

Tohtorikoulutettava Topi Törmä matematiikan tutkimusyksiköstä, väitöstutkimuksesi käsittelee yleistettyjä ketjumurtolukuja ja Diofantoksen approksimointia. Mitä ihmettä nämä oikein tarkoittavat?

Kuulun lukuteorian tutkimusryhmään, eli tutkimme lukujen ominaisuuksia.

Desimaaliluvut ovat vain yksi tapa esittää lukuja. Se, että ylipäänsä käytämme desimaalilukujonoja eli kirjoitamme vaikkapa 0,2135768, on oikeastaan mielivaltainen tapa esittää lukuja ja vain vakiintunut meille käyttöön, koska ihmisellä on kymmenen sormea. Esimerkiksi muinaisessa Babyloniassa kantaluku oli 60, mistä muistuttaa nykyinen tapamme laskea tunteja ja minuutteja.

Irrationaalilukujen, kuten vaikkapa piin, esittäminen desimaalilukuina on hieman kömpelöä, sillä niiden desimaaliesitykset ovat päättymättömiä ja jaksottomia. Ketjumurtoluvut ovat yksi mahdollinen tapa esittää tällaisia lukuja täsmällisesti. Ketjumurtoluvulla tarkoitetaan lukua, jossa murtoluvun nimittäjään eli murtoviivan alla olevaan lukuun lisätään murtoluku, jonka nimittäjään edelleen lisätään uusi murtoluku ja tätä jatketaan loputtomiin (ks. kuva).

Diofantoksen approksimointi taas tarkoittaa irrationaalilukujen arvioimista rationaaliluvuilla. Tavoitteena on löytää nimittäjältään pieniä rationaalilukuja eli murtolukuja, jotka ovat mahdollisimman lähellä haluttua irrationaalilukua. Karkeasti, esimerkiksi piille 22/7 (=3,14285714) on hieman parempi approksimaatio, eli arvio, kuin 314/100 (=3,14).

Oulun ylioppilaslehti 2016

Ketjumurtoluvulla tarkoitetaan lukua, jossa murtoluvun nimittäjään lisätään murtoluku, jonka nimittäjään edelleen lisätään uusi murtoluku ja tätä jatketaan loputtomiin. Tohtorikoulutettava Topi Törmä havainnollistaa, kuinka ykkösenkin voi esittää toisin ketjumurtolukuna.

 

Mihin tällaisia tarkkoja lukuja tarvitaan?

Ongelma kuuluu matematiikan perustutkimukseen. Ketjumurtoluvut ja Diofantoksen approksimaatiot ovat hyviä työkaluja irrationaalilukujen ominaisuuksien tutkimiseen ja luokitteluun. Lisäksi irrationaalilukuja hyvin arvioivia rationaalilukuja voidaan hyödyntää esimerkiksi laskimissa ja tietokoneissa.

Miten päädyit lukuteoreetikoksi?

Luvut ja niistä löytyvä rakenne viehättävät. Lukuteorian kautta on kiinnostavaa saada otetta klassisiin luonnonvakioihin, kuten piihin ja useiden tuntemaan Neperin lukuun e. Diofantoksen approksimaatiot ovat keskeinen tutkimuskohde Oulun lukuteorian ryhmässä, joten se oli luonteva valinta kun halusin perusopintojen jälkeen jatkaa pidemmälle.

Stereotyyppisissä kuvitelmissa matemaatikko rustaa kaavoja liitutaululle yömyöhään kammiossaan. Miten nykymatemaatikko oikeasti työskentelee?

Kynä ja paperi riittävät työvälineiksi, edes taulua ei tarvita. Tutkimus on enimmäkseen ajatustyötä ja ratkaisut syntyvät yrityksen ja erehdyksen kautta. Usein kaavoja, todistuksia ja hahmotelmia kertyy kymmenien sivujen pino. Tietokonetta tarvitaan vasta näiden puhtaaksikirjoittamiseen. Laskennallisempia menetelmiä käyttävät matemaatikot toki työskentelevät enemmän koneella.

Matemaatikko myös lukee paljon artikkeleja ja kirjoja sekä tutkii muiden tekemiä ratkaisuja. Ratkaisuja ongelmiin pohditaan usein yhdessä kollegoiden kanssa eli työtä ei tehdä koko ajan yksin. Pää toimii silloinkin kun paperia ei ole edessä, esimerkiksi lenkillä tai nukkumaan mennessä. Silloin tällöin näistä väläyksistä jopa syntyy ratkaisu. Tällainen passiivinen työskentely onkin tärkeä työvaihe.

Matematiikkafanin ja matemaatikon ero on se, että fania kiinnostaa esimerkiksi opetella ulkoa tuhatmäärin piin desimaaleja. Matemaatikko ei muista numeroita, vaan hänelle pii on pii. Se on paljon tarkempi ilmaus.

Oikeusbiologia ja DNA-tutkimus ratkaisevat CSI-mysteerejä, kemistit keittävät huumeita Breaking Badissa. Millaisia matemaatikkoja nyky-yhteiskunnan sankareiksi tai antisankareiksi voisi hahmotella?

Matematiikkaa ja lukuteoriaa tarvitaan konkreettisesti kaikenlaisiin salausjuttuihin. Numbers-sarjassa matemaatikot ovat ratkoneet rikoksia. Matematiikasta on toki hyötyä kaikenlaisissa loogista päättelyä vaativissa arvoituksissa, kuten vaikkapa da Vinci -koodissa.

Viime kesänä ensi-iltansa saanut Man Who Knew Infinity kertoo intialaisesta matemaatikko Ramanujanista, joka teki kovia tuloksia myös lukuteorian saralla. Se pitäisikin nähdä seuraavaksi.

Julkaistu 25.10.2016

Essi Oikarinen

Tiedeviestinnän opiskelija, joka haluaisi keksiä lisää värejä ja valon aallonpituuksia.

Lue seuraavaksi

Saamenkielisiä opettajia kouluttava hanke on täsmäisku opettajapulaan 

Terhi Suominen

Tiede

22.12.2018

Viikon 51 Tiedekysymys: Onko äänikirjojen kuunteleminen lukemista?

Venla Tuohino

Tiede

20.12.2018

Erkki Koiso-Kanttilan katu 1
2T-ovi, 1.krs
90570 Oulu

toimitus@oyy.fi
+358 40 526 7821